Николай Михайлович Аввакумов родился 24 августа (6 сентября по н. с.) 1908 года в городе Асбестовые рудники (ныне Асбест) Пермской губернии в семье первой учительницы города Ф. И. Аввакумовой.
В Асбесте окончил школу, ФЗУ.
1925—1928 — учился в Пермском художественно-педагогическом училище (одним из педагогов был И. Я. Хазов), четырёхгодичный курс окончил за три года.
С марта 1929 — член Свердловского филиала АХРа.
С 1924 года — член ВЛКСМ, был секретарём ячейки ВЛКСМ заводоуправления Магнитостроя. Вёл изокружок на Магнитострое, при МК ВЛКСМ и др.
В 1930 году — по рекомендации А. В. Луначарского работал на Магнитке, где создал ряд ценнейших произведений графики из жизни гиганта металлургии.
Являлся Депутатом Магнитогорского Совета Первого Созыва.
1932—1941 — художник-корреспондент газеты «Комсомольская правда».с 1932 года в Москве.
С 1934 — член Московского союза советских художников.
В РККА с 25 декабря 1941 года. Призван Бауманским РВК г. Москвы.
1942—1944 — был художником-корреспондентом газеты «Фронтовик» в составе 3-й ударной армии.
С декабря 1942 года — член КПСС.
Приказом по 3 ударной армии № 029\н от 11 января 1943 года награждён медалью «За боевые заслуги». Приказом № 0113\н по 3-й ударной армии от 29 апреля 1944 года награждён орденом Красной Звезды.
С 1944 года по август 1945 — художник Студии военных художников имени М. Б. Грекова, по заданию который выезжал на фронт, был в городах: Вена, Бухарест, Будапешт, Вильно, Арад, Могилёв, Минск, Бобруйск, Великие Луки и других.
Награждён медалью «За победу над Германией».
Умер Н. М. Аввакумов в Москве 8 декабря 1945 года.
Похоронен на Донском кладбище.
9 мая 1958 года, в День Победы, Студией военных художников им. М. Б. Грекова на могиле был открыт скульптурный портрет Н. М. Аввакумова работы Е. В. Вучетича, с которым он дружил при жизни.