Асеев Ю.С. родился в Киеве 26 декабря 1917 года. Дядей Ю.С. Асеева по матери был Дмитрий Михайлович Дяченко ‒ известный украинский зодчий; дядей по отцовской линии ‒ русский поэт Николай Николаевич Асеев. Учился Асеев Ю.С. в 1-й киевской трудовой школе им. Т. Шевченко. В 1935 году закончил Киевский инженерно-строительный техникум. С 1934 по 1941 учился на архитектурном факультете Киевского инженерно-строительного института. Во время Великой Отечественной войны помогал изготавливать документы для партизан и жителей Киева, необходимые для спасения от преследования нацистами. В 1943-1945 годы под руководством П.Д. Барановского проводил обследования и фиксацию повреждённых в годы войны памятников древнерусского зодчества на территории Украины. 1944-1964 гг. ‒ научный сотрудник Академии архитектуры УССР.
Круг научных интересов ‒ история архитектуры, искусствоведение, реставрация и охрана памятников архитектуры, их популяризация.
В Киевском государственном художественном институте с 1953 по 1999 гг. преподавал курс истории. Возглавлял кафедры теории и истории искусства (1964-1966 гг.); теории, истории архитектуры и синтеза искусств (1966-1993 гг.). Был проректором по научной работе (1976-1979 гг.), с 1973 года ‒ профессор. Ю.С. Асеев внес существенный вклад в изучение и реставрацию древнерусских архитектурных памятников.
Автор более 20 научных реконструкций памятников архитектуры Киевской Руси, в частности: Десятинная церковь, Софийский собор, Кирилловская церковь, церковь Богородицы Пирогощи (все в Киеве), Спасо-Преображенского собора в Чернигове; древнерусских соборов в Каневе и Белгороде-Киевском.
Ю.С. Асеев состоял действительным членом Всемирной организации охраны памятников, был почётным членом Украинской академии архитектуры (1992 г.), доктором архитектуры (1972 г.), заслуженным архитектором Украины (1991 г.), лауреатом Государственной премии УССР в области науки и техники (1971 г.), членом Союза архитекторов, членом комиссии по воссозданию выдающихся памятников истории и культуры при Президенте Украины. Похоронен на Байковом кладбище в Киеве.