Родился в семье железнодорожного инженера. В 1925 году семья переехала в Бежицу. В 1937 году его отца репрессировали, а год спустя Е. А. Шмидт переехал в Смоленск, где поступил на естественный факультет Смоленского государственного педагогического института. Советский и российский археолог, специалист по истории и археологии Верхнего Поднепровья и Подвинья, доктор исторических наук (1976), профессор, заслуженный деятель науки Российской ФедерацииЕ. А. Шмидтом опубликовано более 300 научных работ, в том числе несколько монографий по истории племён Верхнего Поднепровья и Подвинья до образования Древнерусского государства. Он впервые исследовал памятники культуры шаровидных амфор эпохи неолита, обнаруженных в верхнем течении Днепра, а в междуречье Днепра и Западной Двины исследовал могильники и поселения 2-й половины 1 тысячелетия нашей эры. Производил раскопки городищ и селищ Новые Батеки, Холм, Куприно, Близнаки; курганов и могильников Харлапово, Шугайлово, Заозерье, Акатово. Большое число публикаций посвящено разработке вопросов этнической принадлежности, хозяйственного развития, культур днепро-двинских племен раннего железного века. В ряде работ выделены особенности культур тушемлинских племен для Смоленского региона. Собраны и проанализированы обширные материалы по смоленским длинным курганам и по проблеме этногенеза кривичей. Данные раскопок позволили выявить характерные особенности погребального обряда кривичей XI—XIII веков. В результате раскопок им было собрано и систематизировано более 1000 археологических памятников, которые хранятся в Смоленском музее-заповеднике и Государственном Историческом музее. Заслуженный деятель науки РФ (07.09.1995). В 2014 году Е. А. Шмидт стал первым лауреатом краеведческой премии имени И. И. Орловского.